lunes, 23 de junio de 2014

La divina proporción: girasoles, ciclones y galaxias

Divina proporción... también conocida como la proporción áurea. Mucho se ha escrito sobre esto... Mucho. Pero bueno, voy a intentar explicarlo a mi manera. Más o menos como se lo expliqué a ella.
Uf, es que ese día iba a ser un día grande. Qué nervios...
Después de hacer los deberes (divisiones con decimales, cambios de unidades, ya sabéis), me dispuse a contarle algo sobre la divina proporción. El número de oro. Había estado preparando estos minutos con esmero, estudiando minuciosamente los pasos, las baldosas amarillas que nos llevarían hasta Oz. A estas alturas pretendía que mi pequeña pupila reconociese la famosa Sucesión de Fibonacci (que expliqué en mi anterior entrada de blog) , y que se mimetizara con su forma.

Así que cuando yo le preguntara "¿Cómo es la sucesión de Fibonacci?", fuera capaz de escribirme los primeros términos y que se acordara de esos conejitos y las abejas que llevan intrínseca esa sucesión.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...
Pues bien: El cociente entre un término cualquiera de la sucesión y su antecedente se aproxima a este número (número fi, o phi, que en letras griegas se corresponde al símbolo Φ) a medida que avanzamos a lo largo de la serie.  ¿Es esto cierto?

Como mi alumna cursa 5º de primaria y ya sabe hacer divisiones con decimales, le planteé como ejercicio que comprobara precisamente esto (y es cuando le dije, a modo de sugerencia, que cualquier matemático que se precie ha de comprobar lo que le dicen, y no asumir los enunciados como verdades absolutas... En fin, sí: ¡es más fácil decir que hacer!)
Por tanto tenemos:

2º término / 1er término  = 1/1    = 1
3er térm.   / 2º térm.         = 2/1   = 2
4º térm.    / 3er térm.        = 3/2   = 1.5
5º term.    / 4º term.          = 5/3   = 1.66666...
6º term.    / 5ºterm.           = 8/5   = 1.6
7º term.    / 6º term.          = 13/8 = 1.625....

Y ya si dividimos términos un poco más elevados:

15º term. / 14º term.       = 610/377 = 1.618037...

¡Fijaos, sólo hemos dividido el término 15º entre el 14º de la sucesión de Fibonacci y el número obtenido ya comparte 5 cifras decimales con el número Φ!
Este mágico número se puede expresar en forma de fracción, siendo equivalentes:
Pertenece a los números irracionales: esto significa que no podemos expresarlo en forma de fracción con un número natural en el denominador y un número entero en el numerador. En este caso, el causante de que sea irracional se sitúa en el numerador: tenemos la raíz de 5 (que es a su vez un número irracional).


El rectángulo áureo
El rectángulo áureo se construye de manera muy sencilla. Sólo hay que tener en cuenta que su lado más largo surge de multiplicar la longitud del lado más corto por 1.618 (el número Φ). Un rectángulo de estas características recibe el nombre de "Rectángulo Áureo".

Otra forma de construirlo es el siguiente:
Dibujamos un cuadrado, y con un compás pinchamos en la arista inferior del cuadrado, justo en la mitad (m) y abrimos el compás hasta hacerlo coincidir con el vértice superior derecho (C). A continuación trazamos un arco de curva hacia la derecha y nos detenemos cuando el arco alcanza la altura de la arista inferior. Y justo este último punto será el vértice inferior del rectángulo áureo (F):


Este rectángulo sigue siendo áureo. Si no estáis seguros de haberlo hecho bien, bastará que dividáis el lado mayor entre el menor, y el resultado os debe dar el número de oro.

- El mundo que nos rodea esta repleto de rectángulos áureos - le dije a mi pupila. - Hagamos un experimento.
Acto seguido saqué de mi cartera dos tarjetas: Mi DNI y mi carnet de estudiante universitario.
 Tanto da si se trata de una tarjeta de crédito o el carnet de socio de cualquier cosa. Todas estas tarjetas tienen el mismo tamaño. Una preciosa propiedad que tiene el rectángulo áureo es que, al disponerlas de esta forma
y trazar una diagonal de la tarjeta horizontal y prolongarla, podemos comprobar que ¡coincide exactamente con el vértice derecho (B)!
Esta propiedad es única de los rectángulos áureos. Dispuse mis dos tarjetas de esta manera y con ayuda de una regla tracé la diagonal. Y... ¡oh sorpresa! Cumplían esta propiedad, lo que las convertía en rectángulos áureos. Así que los seres humanos portamos el rectángulo áureo diariamente y ¡no somos conscientes! ¿Coincidencia?
Probablemente esta clase de rectángulos que guardan la proporción áurea nos resultan más bellas a la vista y por eso fueron fabricadas de esta forma (asunto en el que ahondaremos más adelante). 


La espiral logarítmica
Algunas de las manifestaciones más bonitas de Φ se encuentran en las espirales. Para construir una espiral logarítmica casera, podemos partir del rectángulo áureo que hemos diseñado en el anterior apartado.
A partir de él sustraeremos cuadrados, y del rectángulo restante volvemos a partirlo de forma que queden de nuevo un cuadrado y un rectángulo más pequeño (A propósito que ¡cada subrectángulo también es un rectángulo áureo!) de la siguiente forma:

Cuando hallamos seguido este proceso las veces que podamos o queramos, trazaremos cuadrantes de circunferencia con radio el lado del cuadrado y centro el vértice de cada uno de ellos.
¿Os suena de algo esta espiral? Quizás debo refrescaros un pelín la memoria, a ver si así...

  •  Por un lado hay una caracola, la archifamosa "Nautilus", que contiene en su divina concha, la divina proporción.

  •  Pero la orgullosa Nautilus no se queda con la exclusiva. En muchas, muchísimas plantas que nos rodean diariamente se encuentra esta espiral:


  • ¿Os apetece planear como un águila o acudir a la luz como un insignificante mosquito? Porque... La proporción también se encuentra en la forma de su vuelo. Atentos: el biólogo escocés D'Arcy Thompson, descubrió que los insectos trazan la espiral áurea cuando se acercan a un punto de luz. Y que las aves de presa mantienen también esa trayectoria cuando se lanzan a cazar una presa, ya que es la única forma de que pueden mantener la cabeza recta y sin variarla de posición, con lo que no pierden el contacto visual con sus presas y además ¡maximizan velocidad!
  • Si no tenéis demasiado vértigo, quizás os atreváis a subir un poquito más arriba... Así es como se muestra un verdadero ciclón visto desde el espacio. ¿A qué os recuerda su forma?

  •  ¿Soñáis con cruzar el firmamento de punta a punta? ¡Pues no os libraréis de la espiral tan fácilmente como pensábais! Aquí se encuentra de nuevo, para atormentarnos, en la forma de muchas galaxias:

Ya veis: Desde una diminuta caracola hasta una galaxia. La espiral logarítmica se presenta en nuestro mundo, formando parte de un gran todo maravilloso. Podéis imaginar la cara de mi alumna, parpadeando absorta mientras miraba todas las imágenes que le iba enseñando.


El número de oro y la belleza
Y es que al número Φ  no se le conoce como "el número áureo" y "la divina proporción" por gusto. Esta proporción es usada tanto en arte (escultura y pintura) como arquitectura desde tiempo inmemoriales. Aparece mágicamente, y la razón es que esa proporción nos resulta bella, de manera innata.

Existe un test que se llama el test de Frechner, en el que se nos da a escoger entre una serie de rectángulos distintos bajo la pregunta  de "¿Cuál de todos ellos te gusta más?".

Pues bien, esto se les preguntó a bastantes personas (las suficientes como para poder hacer un estudio estadístico fiable) los resultados dan los siguientes porcentajes:


¡La mayor parte de las personas entrevistadas consideró el rectángulo áureo como el más bello!

Cuando le hice el test a mi alumna, he de decir que ella eligió el 2:3, que es el que se usa para las fotos. Puede que no tuviera mucha idea de la belleza a su corta edad... Lo único que me consuela es que las proporciones se aproximan a las del rectángulo áureo, al contrario que muchos otros rectángulos que le expuse.

En fin, el rectángulo áureo (las proporciones áureas al fin y al cabo), están estrechamente ligadas a nuestra concepción de belleza. Y si no estas convencido del todo, para prueba un botón (o varios):

  • Encontramos el rectángulo en pintura... desde el rostro de la "Gioconda" de Da Vinci (insertado en rectángulos áureos superpuestos) hasta "El Nacimiento de Venus" de Sandro Botticelli (cuyo cuerpo presenta proporciones áureas). 

  • En arquitectura encontramos ejemplos como el Partenón de Atenas o los arcos de triunfo de la Roma clásica. También está enmarcada con rectángulos áureos la Notre Dame de París, como se muestra a continuación:

  • Y ya que estamos en París... ¿Os acordáis de otro emblemático símbolo de la ciudad? ¡Exacto! La Torre Eiffel también está construida teniendo en cuenta proporciones áureas.

  •  Viajamos esta vez a Egipto... En concreto nos interesan sus míticas pirámides, y más en particular, la pirámide de Keops, que guarda una íntima relación con el número Φ:



Fibonacci... ¡Fibonacci!
Porque sí: proporción áurea y Fibonacci se dan la mano gustosamente. La razón la tenemos al comienzo de la entrada: ya explicamos anteriormente cómo al dividir dos términos consecutivos de la sucesión (a mayores términos, mayor precisión), el cociente se aproximaba cada vez más al número Φ. Sin embargo es más visual si se puede comprobar que también forma parte del proceso de construcción de la espiral logarítmica. Si los cuadraditos más pequeños tienen de lado una unidad, el resto de cuadrados que se han formado tienen de longitud números consecutivos de la sucesión de Fibonacci.
Estos siniestros (y a veces encantadores) números también se manifiestan en la naturaleza de muchas formas distintas. Veamos algunos ejemplos:
  •  En el número de pétalos que tienen muchas especies de flores.

  • Al observar a los magníficos girasoles. Se pueden ver espirales hacia un lado y hacia otro (a favor y en contra de las agujas del reloj). Pues bien, ¿cuántas espirales encontramos de cada lado?

¡Hacia un lado 21 y hacia el otro 34! De nuevo dos números consecutivos pertenecientes a la sucesión de Fibonacci.
  • Otro ejemplo lo encontramos con una especie de planta: La Achimea Ptarmica. Dispone sus hojas y ramas de la siguiente forma:
De manera que en cada nivel, el número de ramas es un número perteneciente a la sucesión de Fibonacci: en el primer nivel tiene una rama, en el segundo 2, en el tercero 3, en el cuarto 5 ramitas... etcétera


A simple vista parece una planta de lo más común... pero su disposición de hojas y ramas es del todo mágica. De igual forma funcionan las hojas de los árboles, que tampoco nacen amontonadas, sino en forma de espirales. ¡Fijaos mejor cuando veais una planta en vuestro entorno! Escondida puede estar la sucesión de Fibonacci... Y de manera implícita, por supuesto el número dorado.
  • Por último dos ejemplos que encontramos observando nuestro propio brazo. ¡Sí sí, nosotros también somos divinos!

  • Y por último ya, dividiendo la longitud desde el codo hasta la muñeca entre la longitud de nuestra palma... también da como resultado el número de oro.
La proporción áurea forma parte de nuestra anatomía, es inevitable.

Sólo tengo que decir que mi pupila acabó maravillada. Y es que no hay nada mejor para cautivar a una niña con colores y formas que constituyen nuestra realidad y que tienen detrás algo que se considera aburrido y monótono, como lo que piensa que son las matemáticas.

Y es que la vida son matemáticas... ¡Y es imposible pensar que la vida sea monótona y aburrida!


Fuentes y para saber más
Recomiendo encarecidamente el vídeo "Donald en el país de las matemáticas", incluido el primero en la sección de vídeos de este mismo blog, en el cual se habla de la proporción áurea de una forma muy didáctica y simpática. A mí me lo pusieron uno de los primeros días de carrera. ¡Totalmente adorable!
  • Información de carácter general:
http://arteconaida.blogspot.com.es/2012/12/el-secreto-de-la-belleza_9601.html
  • El número phi en la naturaleza:
  • En dibujo y arquitectura:
  • En el arte: 
  • La proporción áurea. El lenguaje matemático de la belleza. Fernando Cerbalán. Colección: El mundo es matemático.

lunes, 9 de junio de 2014

La sucesión de Fibonacci

Está muy bien eso de resolver acertijos y jugar al Tangram, pero contarle a mi pequeña pupila cosas algo más elevadas matemáticamente... me produce cosquilleo interno, de emoción.  La sensación de perpetrar algo grande. De acercarla un poco más a mi mundo. 
Sólo le cuento la idea (que es lo que básicamente voy a contar aquí, y en la siguiente entrada). Luego hay mucha literatura al respecto que ciertamente merece la pena ser leída: tanto como si tienes conocimientos previos como si no.
La sucesión de Fibonacci la introduje al final de mi entrada anterior, pero recordaré en qué consiste:
Se trata de una sucesión numérica, en que el siguiente número es la suma de los dos términos anteriores.
De esa forma se escriben arbitrariamente 0 , 1
y a partir de ahí: 0+1=1 , 1 +1=2,  1+2=3, etcétera, quedando los primeros términos como:


0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...

El problema de los conejos
La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos.
El problema para Fibonacci, que también era un gran contable, era la siguiente:

"Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes, los nacidos parir también".

Por tanto, Fibonacci se pregunta...
¿Cuántas parejas de conejos habrá en una granja después de 12 meses, si se coloca inicialmente una sola pareja?
Como veis, no es más que otro acertijo. Y creo que esta claro el nexo entre el problema de los conejos y de la sucesión de Fibonacci, ¿no? (En efecto no me he vuelto loca y no me ha dado por hablar de un acertijo de conejos sin venir a cuento) Y si no lo veis todavía, sed pacientes.

Bueno, ¿Cómo hacer divertido el problema? Pues yo cogí el conejico este tan mono:
Y con ayuda de paint le hice una pareja, y creé imágenes con dos conejos cada una, y luego guardé esa imagen y creáis copias de ella en Word (creando un mini-ejército de parejas de conejos).
Y así hacemos unos cuantas parejas (en concreto yo hice una cuadrícula de 6x4 parejas de conejos), se imprime esta hoja y se recortan.
Así es como aparecí ese día en la clase, con un sobrecito lleno de parejas de conejos, que esparcí en la mesa. ¡Ya podía llevar al plano empírico el problema!

Fue necesario leer varias veces más el problema, porque cabe tener en cuenta que:
- Los conejos necesitan dos meses de vida al menos para alcanzar la edad adulta y tener crías, a partir del cuál cada mes criará una nueva pareja.
- La nueva pareja al tener dos meses de vida, parirá a su vez otro par de conejos.

Con todo esto, parece claro que en el primer mes, tendremos solo 1 pareja, que al constituirse por conejos demasiado pequeños no pueden tener crías. Al siguiente mes también tendremos solamente 1 pareja, pues los conejos estan creciendo y no pueden todavía procrear. Sin embargo al tercer mes, la pareja tendrá una pareja de crías.... Por lo que tendremos 2 parejas.
 Al 4º mes, la pareja inicial vuelve a criar, mientras que las crías del mes anterior siguen creciendo. Por tanto tendremos: La pareja inicial + las nuevas crías + las crías que tuvieron en el mes 3º = en total 3 parejas.
Al 5º mes, como las crías del 3er mes ya se encuentran con fuerzas de criar, y la pareja inicial seguirá criando... Tendremos unas cuantas parejas más, que en total sumarán 5 (siguiendo un razonamiento lógico análogo al anterior).
¿Véis el nexo con la sucesión de Fibonacci?


Por tanto parece que la pregunta que se hacía Fibonacci tiene una fácil respuesta... ¿Cuántos conejos tendremos al transcurrir exactamente 1 año (12 meses)?

[Ayuda: pinchar aquí]


Fibonacci y las abejas
También existe un problema análogo que  resulta muy divertido de resolver. En este caso abandonamos a los conejos para adentrarnos en un caso bastante práctico: Las abejas. Además, he estado indagando y parece ser que esto se presenta así en la naturaleza. 
Resulta que las abejas macho nacen de un huevo no fecundado y las abejas hembra nacen de uno que sí esta fecundado. Es decir:

- Las abejas macho tienen únicamente una madre.

- Las abejas hembra tienen un padre y una madre.

El problema consiste en averiguar cuántos antecesores tiene un individuo cualquiera al nivel que queramos.
Si cogemos una abeja macho... ¿Cuántos padres/madres  tendrá?

Es obvio, por lo descrito anteriormente que solamente contará con 1 madre. (Pues se trata de un huevo no fecundado).
 ¿Y abuelos? Como la madre desciende de un huevo fecundado, en este caso tendrá un padre y una madre, así que la abeja macho del principio tiene 2 abuelos (macho y hembra)
¿Y bisabuelos?  ¿Y cuántos tatarabuelos tendrá (machos y hembras),...etc?

Si realizamos bien el problema (podemos proceder de muchas maneras, una de ellas es haciéndonos un esquema sobre una hoja), el resultado que se obtiene es muy bonito.

Para los dos problemas elaboré además una tabla en una hoja, para que mi pupila fuera colocando los conejitos o las abejas y fuera apuntando los resultados, tras razonar lógicamente qué número de parejas (para conejos) o individuos (para abejas)  ponía en el siguiente nivel (meses en los conejos, y progenitores en el caso de las abejas).

Espero que razonéis cómo funciona todo esto, ¡es sumamente interesante!
La próxima semana veremos una "consecuencia" preciosa de la sucesión de Fibonacci... La proporción áurea, o el número de oro.

Algunas fuentes:
  • El problemas de las abejas:
http://www.johndcook.com/blog/2008/02/15/honeybee-geneology/
  • Todo esto en términos  matemáticos:

jueves, 5 de junio de 2014

Sucesiones: uno detrás de otro


Quizás podáis pensar "Buah Laura, ¿eso va a motivar a tu alumna? ¿Las sucesiones numéricas? ¿En serio?".
Pues ni os imagináis lo divertidas que son.
Antes de nada y muy importante: Una sucesión se define, grosso modo, como un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra en un cierto orden.
Explicaremos por encima en qué consisten las numéricas, ya que las lógicas son mucho más intuitivas y no necesitan ningún tipo de explicación.
Las sucesiones generalmente son infinitas. El concepto de infinito la verdad es que dejó un poco aturdida a mi pupila, pero es normal. A veces a mi también me cuesta de asimilar.
Buenos ejemplos de sucesiones son, por ejemplo, las siguientes series:
 1, 2, 3, 4, ...
 5, 10, 15, 20, 25...
 1, 3, 5, 7...  (Sucesión infinita de números impares)


La regla
Toda sucesión sigue una regla que te indica cómo calcular el valor de cada término.
En este ejemplo se observa que la regla consiste en sumar +2 al término anterior.
Generalmente, la regla es una fórmula. Pero como yo quiero ir a parar a otros derroteros más visuales, no entraremos en cuestiones de fórmulas.
Hasta aquí todo bien. Esto fue un leve repaso de cosas que había visto en otros cursos de primaria.

Algunos tipos de sucesiones
Existen muchos tipos de sucesiones. Aquí veremos sólo algunas, pero de lo más variopintas.
  •  Sucesiones aritméticas, que se construyen sumando un valor fijo cada vez (Como en los ejemplos anteiores).
  • Sucesiones geométricas: Que se construyen multiplicando un valor fijo cada vez, como por ejemplo:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,...
3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187,...
  •  Sucesiones especialesComo por ejemplo los número triangulares:

En el que añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontraremos el siguiente término (A mi pupila le hice calcular el siguiente término, dibujando los puntos en un triángulo.)
Hay muchos más tipos de sucesiones, pero bueno, para ir fijando algunos conceptos con esto basta.
  • Y bueno, también aproveché que estabamos viendo como funcionaban las sucesiones para hablarle de los números de Fibonacci (en la siguiente entrada del blog ya me extenderé suficiente sobre esto), y que se trata de la siguiente serie:
0, 1 ,1 ,2 ,3 ,5 ,8 ,13 ,21...

Es decir: Empezamos con el 0 y el 1 y a partir de ese momento el siguiente término surge de sumar los dos términos anteriores.
Así pues:

0 +1 = 1
1 + 1= 2
1 + 2= 3
2 + 3= 5
3 + 5 =8

Y así... hasta el infinito (y más allá, probablemente).

Para terminar, encontré una página de sucesiones de todo tipo: Desde sucesiones lógicas, hasta sucesiones numéricas, y estuvimos jugando con ellas hasta que se hizo la hora.
¡Llevad cuidado porque están con las soluciones! Hay que intentarlo primero y luego ya mirar la solución: en matemáticas, como en la vida... no vale hacer trampas.








Fuentes

viernes, 4 de abril de 2014

El Tangram

Esta fue la primera clase que le dí a la vuelta de vacaciones de Navidad. Ya se hace duro eso de volver a la rutina para un adulto... Que para un niño supongo que más, aunque se trate de volver al cole con los amigos. Sin contar con las miles de las actividades extra que últimamente apuntan a los niños, y que hacen que la vida de niño cada vez se parezca menos a eso, a la vida de un niño.
Así que cuando asomo ese día por la puerta de su casa, no sé si se alegra de verme o en realidad piensa que ojalá yo no estuviera allí. El caso es que estoy allí y ella me sonríe, y sigue siendo un misterio si lo hace por cortesía o porque ya le caigo bien. 


Para ese día tenía preparado algo divertido, algo que yo ya conocía cuando era pequeña, no sé si por influencia del colegio (a algún profesor o profesora  le pareció buena idea mostrarnos uno de esos sutiles juegos de ingenio que alegran y obsesionan nuestros días), o por influencia de mis padres.


Es genial crecer en una casa donde se potencian los juegos de lógica, y que además de poner a prueba tu cerebro, te permiten pasar una buena tarde con tus padres. Estos juegos  abren la mente en el más amplio sentido de la palabra. Sé que hay algunos niños más dispuestos a ello que otros. Pero ya sabéis lo que dicen: el cerebro es un músculo que se puede entrenar.

En Matemáticas, el Tangram se usa para introducir conceptos de geometría plana... y para desarrollar las capacidades psicomotrices e intelectuales de los niños. (Que no lo digo yo, que lo dice la Wikipedia, así que ¡ojo!).

- Quizás te suene este juego. Es bastante conocido.
- No, no me suena.
- Bueno, te voy a contar algo de él.

Es un juego chino muy antiguo, que consta de siete piezas, como puedes ver - le digo, mostrando el tablero que he reproducido en cartulina, aunque normalmente se usa una versión de madera- Y por eso "Tangram" significa en chino "Siete tableros de astucia", pues hace referencia a las siete piezas de las que consta: Un cuadrado, cinco triángulos de distintos tamaños y un paralelogramo o rombo.

Fuente: http://sinaloalee.blogspot.com.es
Además, hay una leyenda detrás de este juego.
Cuentan que un sirviente de un emperador chino llevaba un mosaico de cerámica, muy caro y frágil, y tropezó rompiéndolo en pedazos. Desesperado, el sirviente trató de formar un nuevo mosaico en forma cuadrada, pero no pudo.

Sin embargo, se dio cuenta de que podía formar muchas otras figuras con los pedazos.

El juego consiste en usar todas las piezas para construir distintas formas. Existen más de 10.000 formas posibles distintas.

Nosotras no las haremos todas, pues necesitaríamos varias décadas por lo menos... Nos contentaremos en hacer unas cuantas:

                 

Estas dos son bastante sencillas, pues hay algunas piezas que claramente se ven en que sitio van y automáticamente quedan descartadas de otro lugar, lo que deja el rango de posibilidades a utilizar bastante acotado.
También intentamos algunas de estas, que tienen formas de animalitos, y son bastante graciosos.





















Intentamos el 78 y 82 de los patos, y de los conejos el 99 y 100. Son los más recomendables para niños, según mi criterio. Para algunos no necesitó ayuda... Para otros necesitó un empujoncito.







Y sin duda, los gatos le encantaron, así que hicimos varios de ellos. Tampoco son muy difíciles, especialmente el 104 (¡Este es más bien un sabueso!), 107 y el 111.










Y por supuesto, no íbamos a dejar sin hacer el mítico cisne, figura entre figuras y una de las imágenes más representativas del Tangram.



En fin, si queréis hacer más, solo tenéis que teclear "Tangram" en Google, y veréis que la variedad y cantidad de figuras es abundante.
(Soluciones al final, como siempre).

Las paradojas del Tangram
Sin duda no puedo cerrar el post sin mencionaros algunas famosas paradojas con el Tangram, que resultan curiosísimas (De esto ya no le hablé a mi joven pupila, ya tenía bastante la pobre).


1) La paradoja de los dos monjes: Dos figuras similares, pero una con un pie menos.
A simple vista parece imposible que las dos figuras se hayan construido utilizando las siete piezas del Tangram, pero si observamos como están construidas se desvela parte del misterio:
2) Paradoja de la taza mágica, de libro de Sam Loyd Eighth Book of Tan(1903). Cada una de estas tazas fue compuesta usando las mismas siete formas geométricas, pero la primera está completa y las otras tienen huecos de distintos tamaños. Más información pinchar aquí.


3)  La paradoja del cuadrado, del libro de Sam Loyd Eighth Book of Tan (1903).

No he encontrado la solución de la construcción de la segunda figura, solo queda intentarlo en casa, y si me sale, o le sale a alguien que haya leído el blog y lo haya intentado, que me lo diga en los comentarios y edito la entrada.

Soluciones


Os dejo las soluciones de todas las figuritas que he puesto además de las que os he recomendado:

Sin lugar a dudas, mi favorita:



Recursos para seguir divirtiéndonos con el Tangram
Aquí os dejo algunos recursos que pueden ser de utilidad: