domingo, 11 de octubre de 2015

La leyenda de la reina Dido

En esta ocasión íbamos a leer la leyenda que hay detrás del famoso problema isoperimétrico (esta historia también se suele contar para explicar la fundación de Cartago). Estaba claro que a ella no podía decirle eso del problema isoperimétrico y quedarme tan tranquila esperando que su mente asumiera tamaño palabro.
Así que comenzamos a leer la leyenda, inconscientes (al menos mi pequeña pupila) de hacia dónde iba nuestro barco.

El texto que leímos juntas contaba más o menos lo siguiente:

Resulta que hace muchos años, Fenicia era una región muy importante. Esta capital estaba en Tiro, y ahí la familia que reinaba, como suele ocurrir en estos casos, andaba de trifulcas en su lucha por el Poder, a lo Juego de Tronos.

Reinaba Sicarbas casado con Elisa, la hija del anterior rey. Pero el hermano de Elisa (Pigmalión) pensaba que el trono le pertenecía a él legítimamente, así que ni corto ni perezoso se cargó al cuñado (es decir, a Sicarbas).  Ya os  podéis imaginar como estaría la pobre Elisa: hecha polvo porque le habían matado al marido... y encima había sido su propio hermano con ansias de poder. Traumático. 
Poco pudo llorarle porque temía que la matara a ella también así que juntó un grupo de nobles que le seguían siendo fieles, algunos marineros, soldados, senadores. Embarcaron grandes tesoros pertenecientes al difunto y zarparon hacia nuevas tierras. 

Navegaron hasta la isla de Chipre donde un sacerdote les dio todo su apoyo. En ese lugar se embarcaron además 80 doncellas que serían las esposas de los jóvenes que acompañaban a Elisa y ayudarían a poblar esa nueva tierra donde podrían vivir en paz.
Pigmalión, por su parte, se enteró de la huida secreta de su hermana y se apresuró a organizar una expedición en su contra. Es entonces cuando la madre de Pigmalión y Elisa (que estaba por allí la pobre mujer, aunque no había hecho acto de presencia en el relato)  le implora que se detenga. Además, los adivinos de la ciudad de Tiro le advierten que sería castigado por la divinidad si impide la formación de una nueva ciudad que ya ha obtenido el beneplácito de los dioses. Por ese motivo Pigmalión se contuvo y canceló cualquier acción contra Elisa.

Elisa era muy inteligente, y además fenicia, es decir, una comerciante nata, así que cuando llegaron a las costas de África, se puso a negociar con los que allí habitaban. Los lugareños al principio los recibieron bien, pero conforme pasaba el tiempo las cosas se empezaron a poner feas. Los habitantes ya no querían a aquellos fenicios merodeando por allí.
Así que Elisa les pidió permiso para comprar y asentarse en un espacio de tierra del tamaño que pudiera ocupar una piel de buey, explicándoles que no tenían ningún otro lugar a dónde ir. Por supuesto, los habitantes, incautos, pensaron:

- Bueno, si quiere el terreno que pueda abarcar con una piel de buey, lo que quiere es poner un pequeño huerto para cultivar las hortalizas y mientras tanto ellos tendrán pensado vivir en sus barcos. 

Y aceptaron. Tamaño error, claro.

Fue entonces cuando Elisa, tomando la piel del buey, la cortó en tiras sumamente finas y junto con el resto de su séquito, ataron estas tiras entre sí formando una gran cuerda de piel. Con esta cuerda podían delimitar el tamaño del territorio que tomarían, y de esa manera alcanzaron más territorio de lo que se pudo haber pensado...


El problema isoperimétrico
Veamos: ahora que tiene esa gran cuerda de piel,  lo que a nuestra querida e inteligente Elisa le interesa es encerrar con esa cuerda el mayor territorio posible (es decir, que encierre la mayor área posible). Y este planteamiento, esta búsqueda, es lo que se denomina en geometría como el problema isoperimétrico.

Isoperimétrico, literalmente significa “tener el mismo perímetro”, por lo tanto, sabemos que los perímetros (la cuerda de buey que tenemos) son fijos y nuestro objetivo es el de maximizar el área que puede contener la "cuerda". 

¿qué curva (si la hay) maximiza el área de la región que encierra? Se puede demostrar que esta cuestión es equivalente al siguiente problema: Entre todas las curvas cerradas en el plano que cierra un área fija, ¿qué curva (si la hay) minimiza el perímetro?

El problema isoperimétrico requiere el uso de la desigualdad isoperimétrica, que si pensamos en la geometría plana, podemos definir como la siguiente fórmula, dada una figura geométrica que tiene un área A y un perímetro P, siempre se cumple lo siguiente (ver Ossermann, R.):

4\pi A \le P^2.


Y las matemáticas nos dicen que la igualdad se cumple sólo para la forma del círculo. Es decir, la forma del círculo es la mejor forma en que se aprovecha la "cuerda de buey" para encerrar mayor territorio, que es lo que la hábil princesa quiere. Además, cuando una parte de la curva tiene un segmento de línea recta de longitud arbitraria, entonces el área máxima se obtiene con un semicírculo.
Finalmente, la princesa, agudizando todo su ingenio logró resolver este problema geométrico y pudo, junto a su séquito, establecerse en tierras Africanas:
Cuentan que sus descendientes hicieron de esa ciudadela un imperio potentísimo, tanto, que fue el máximo rival de Roma. Elisa se hizo coronar reina de su nuevo reino; sus nuevos súbditos la bautizaron con el nombre de Dido.

Muchas leyendas se cuentan sobre la princesa Dido... ¿Encerrará algo de verdad? Sea como sea, historia, verdad, mito o leyenda, lo cierto es que ha perdurado hasta nuestros tiempos para explicar un problema geométrico todavía digno de estudio.

Fuentes y para saber más:

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