lunes, 23 de junio de 2014

La divina proporción: girasoles, ciclones y galaxias

Divina proporción... también conocida como la proporción áurea. Mucho se ha escrito sobre esto... Mucho. Pero bueno, voy a intentar explicarlo a mi manera. Más o menos como se lo expliqué a ella.
Uf, es que ese día iba a ser un día grande. Qué nervios...
Después de hacer los deberes (divisiones con decimales, cambios de unidades, ya sabéis), me dispuse a contarle algo sobre la divina proporción. El número de oro. Había estado preparando estos minutos con esmero, estudiando minuciosamente los pasos, las baldosas amarillas que nos llevarían hasta Oz. A estas alturas pretendía que mi pequeña pupila reconociese la famosa Sucesión de Fibonacci (que expliqué en mi anterior entrada de blog) , y que se mimetizara con su forma.

Así que cuando yo le preguntara "¿Cómo es la sucesión de Fibonacci?", fuera capaz de escribirme los primeros términos y que se acordara de esos conejitos y las abejas que llevan intrínseca esa sucesión.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...
Pues bien: El cociente entre un término cualquiera de la sucesión y su antecedente se aproxima a este número (número fi, o phi, que en letras griegas se corresponde al símbolo Φ) a medida que avanzamos a lo largo de la serie.  ¿Es esto cierto?

Como mi alumna cursa 5º de primaria y ya sabe hacer divisiones con decimales, le planteé como ejercicio que comprobara precisamente esto (y es cuando le dije, a modo de sugerencia, que cualquier matemático que se precie ha de comprobar lo que le dicen, y no asumir los enunciados como verdades absolutas... En fin, sí: ¡es más fácil decir que hacer!)
Por tanto tenemos:

2º término / 1er término  = 1/1    = 1
3er térm.   / 2º térm.         = 2/1   = 2
4º térm.    / 3er térm.        = 3/2   = 1.5
5º term.    / 4º term.          = 5/3   = 1.66666...
6º term.    / 5ºterm.           = 8/5   = 1.6
7º term.    / 6º term.          = 13/8 = 1.625....

Y ya si dividimos términos un poco más elevados:

15º term. / 14º term.       = 610/377 = 1.618037...

¡Fijaos, sólo hemos dividido el término 15º entre el 14º de la sucesión de Fibonacci y el número obtenido ya comparte 5 cifras decimales con el número Φ!
Este mágico número se puede expresar en forma de fracción, siendo equivalentes:
Pertenece a los números irracionales: esto significa que no podemos expresarlo en forma de fracción con un número natural en el denominador y un número entero en el numerador. En este caso, el causante de que sea irracional se sitúa en el numerador: tenemos la raíz de 5 (que es a su vez un número irracional).


El rectángulo áureo
El rectángulo áureo se construye de manera muy sencilla. Sólo hay que tener en cuenta que su lado más largo surge de multiplicar la longitud del lado más corto por 1.618 (el número Φ). Un rectángulo de estas características recibe el nombre de "Rectángulo Áureo".

Otra forma de construirlo es el siguiente:
Dibujamos un cuadrado, y con un compás pinchamos en la arista inferior del cuadrado, justo en la mitad (m) y abrimos el compás hasta hacerlo coincidir con el vértice superior derecho (C). A continuación trazamos un arco de curva hacia la derecha y nos detenemos cuando el arco alcanza la altura de la arista inferior. Y justo este último punto será el vértice inferior del rectángulo áureo (F):


Este rectángulo sigue siendo áureo. Si no estáis seguros de haberlo hecho bien, bastará que dividáis el lado mayor entre el menor, y el resultado os debe dar el número de oro.

- El mundo que nos rodea esta repleto de rectángulos áureos - le dije a mi pupila. - Hagamos un experimento.
Acto seguido saqué de mi cartera dos tarjetas: Mi DNI y mi carnet de estudiante universitario.
 Tanto da si se trata de una tarjeta de crédito o el carnet de socio de cualquier cosa. Todas estas tarjetas tienen el mismo tamaño. Una preciosa propiedad que tiene el rectángulo áureo es que, al disponerlas de esta forma
y trazar una diagonal de la tarjeta horizontal y prolongarla, podemos comprobar que ¡coincide exactamente con el vértice derecho (B)!
Esta propiedad es única de los rectángulos áureos. Dispuse mis dos tarjetas de esta manera y con ayuda de una regla tracé la diagonal. Y... ¡oh sorpresa! Cumplían esta propiedad, lo que las convertía en rectángulos áureos. Así que los seres humanos portamos el rectángulo áureo diariamente y ¡no somos conscientes! ¿Coincidencia?
Probablemente esta clase de rectángulos que guardan la proporción áurea nos resultan más bellas a la vista y por eso fueron fabricadas de esta forma (asunto en el que ahondaremos más adelante). 


La espiral logarítmica
Algunas de las manifestaciones más bonitas de Φ se encuentran en las espirales. Para construir una espiral logarítmica casera, podemos partir del rectángulo áureo que hemos diseñado en el anterior apartado.
A partir de él sustraeremos cuadrados, y del rectángulo restante volvemos a partirlo de forma que queden de nuevo un cuadrado y un rectángulo más pequeño (A propósito que ¡cada subrectángulo también es un rectángulo áureo!) de la siguiente forma:

Cuando hallamos seguido este proceso las veces que podamos o queramos, trazaremos cuadrantes de circunferencia con radio el lado del cuadrado y centro el vértice de cada uno de ellos.
¿Os suena de algo esta espiral? Quizás debo refrescaros un pelín la memoria, a ver si así...

  •  Por un lado hay una caracola, la archifamosa "Nautilus", que contiene en su divina concha, la divina proporción.

  •  Pero la orgullosa Nautilus no se queda con la exclusiva. En muchas, muchísimas plantas que nos rodean diariamente se encuentra esta espiral:


  • ¿Os apetece planear como un águila o acudir a la luz como un insignificante mosquito? Porque... La proporción también se encuentra en la forma de su vuelo. Atentos: el biólogo escocés D'Arcy Thompson, descubrió que los insectos trazan la espiral áurea cuando se acercan a un punto de luz. Y que las aves de presa mantienen también esa trayectoria cuando se lanzan a cazar una presa, ya que es la única forma de que pueden mantener la cabeza recta y sin variarla de posición, con lo que no pierden el contacto visual con sus presas y además ¡maximizan velocidad!
  • Si no tenéis demasiado vértigo, quizás os atreváis a subir un poquito más arriba... Así es como se muestra un verdadero ciclón visto desde el espacio. ¿A qué os recuerda su forma?

  •  ¿Soñáis con cruzar el firmamento de punta a punta? ¡Pues no os libraréis de la espiral tan fácilmente como pensábais! Aquí se encuentra de nuevo, para atormentarnos, en la forma de muchas galaxias:

Ya veis: Desde una diminuta caracola hasta una galaxia. La espiral logarítmica se presenta en nuestro mundo, formando parte de un gran todo maravilloso. Podéis imaginar la cara de mi alumna, parpadeando absorta mientras miraba todas las imágenes que le iba enseñando.


El número de oro y la belleza
Y es que al número Φ  no se le conoce como "el número áureo" y "la divina proporción" por gusto. Esta proporción es usada tanto en arte (escultura y pintura) como arquitectura desde tiempo inmemoriales. Aparece mágicamente, y la razón es que esa proporción nos resulta bella, de manera innata.

Existe un test que se llama el test de Frechner, en el que se nos da a escoger entre una serie de rectángulos distintos bajo la pregunta  de "¿Cuál de todos ellos te gusta más?".

Pues bien, esto se les preguntó a bastantes personas (las suficientes como para poder hacer un estudio estadístico fiable) los resultados dan los siguientes porcentajes:


¡La mayor parte de las personas entrevistadas consideró el rectángulo áureo como el más bello!

Cuando le hice el test a mi alumna, he de decir que ella eligió el 2:3, que es el que se usa para las fotos. Puede que no tuviera mucha idea de la belleza a su corta edad... Lo único que me consuela es que las proporciones se aproximan a las del rectángulo áureo, al contrario que muchos otros rectángulos que le expuse.

En fin, el rectángulo áureo (las proporciones áureas al fin y al cabo), están estrechamente ligadas a nuestra concepción de belleza. Y si no estas convencido del todo, para prueba un botón (o varios):

  • Encontramos el rectángulo en pintura... desde el rostro de la "Gioconda" de Da Vinci (insertado en rectángulos áureos superpuestos) hasta "El Nacimiento de Venus" de Sandro Botticelli (cuyo cuerpo presenta proporciones áureas). 

  • En arquitectura encontramos ejemplos como el Partenón de Atenas o los arcos de triunfo de la Roma clásica. También está enmarcada con rectángulos áureos la Notre Dame de París, como se muestra a continuación:

  • Y ya que estamos en París... ¿Os acordáis de otro emblemático símbolo de la ciudad? ¡Exacto! La Torre Eiffel también está construida teniendo en cuenta proporciones áureas.

  •  Viajamos esta vez a Egipto... En concreto nos interesan sus míticas pirámides, y más en particular, la pirámide de Keops, que guarda una íntima relación con el número Φ:



Fibonacci... ¡Fibonacci!
Porque sí: proporción áurea y Fibonacci se dan la mano gustosamente. La razón la tenemos al comienzo de la entrada: ya explicamos anteriormente cómo al dividir dos términos consecutivos de la sucesión (a mayores términos, mayor precisión), el cociente se aproximaba cada vez más al número Φ. Sin embargo es más visual si se puede comprobar que también forma parte del proceso de construcción de la espiral logarítmica. Si los cuadraditos más pequeños tienen de lado una unidad, el resto de cuadrados que se han formado tienen de longitud números consecutivos de la sucesión de Fibonacci.
Estos siniestros (y a veces encantadores) números también se manifiestan en la naturaleza de muchas formas distintas. Veamos algunos ejemplos:
  •  En el número de pétalos que tienen muchas especies de flores.

  • Al observar a los magníficos girasoles. Se pueden ver espirales hacia un lado y hacia otro (a favor y en contra de las agujas del reloj). Pues bien, ¿cuántas espirales encontramos de cada lado?

¡Hacia un lado 21 y hacia el otro 34! De nuevo dos números consecutivos pertenecientes a la sucesión de Fibonacci.
  • Otro ejemplo lo encontramos con una especie de planta: La Achimea Ptarmica. Dispone sus hojas y ramas de la siguiente forma:
De manera que en cada nivel, el número de ramas es un número perteneciente a la sucesión de Fibonacci: en el primer nivel tiene una rama, en el segundo 2, en el tercero 3, en el cuarto 5 ramitas... etcétera


A simple vista parece una planta de lo más común... pero su disposición de hojas y ramas es del todo mágica. De igual forma funcionan las hojas de los árboles, que tampoco nacen amontonadas, sino en forma de espirales. ¡Fijaos mejor cuando veais una planta en vuestro entorno! Escondida puede estar la sucesión de Fibonacci... Y de manera implícita, por supuesto el número dorado.
  • Por último dos ejemplos que encontramos observando nuestro propio brazo. ¡Sí sí, nosotros también somos divinos!

  • Y por último ya, dividiendo la longitud desde el codo hasta la muñeca entre la longitud de nuestra palma... también da como resultado el número de oro.
La proporción áurea forma parte de nuestra anatomía, es inevitable.

Sólo tengo que decir que mi pupila acabó maravillada. Y es que no hay nada mejor para cautivar a una niña con colores y formas que constituyen nuestra realidad y que tienen detrás algo que se considera aburrido y monótono, como lo que piensa que son las matemáticas.

Y es que la vida son matemáticas... ¡Y es imposible pensar que la vida sea monótona y aburrida!


Fuentes y para saber más
Recomiendo encarecidamente el vídeo "Donald en el país de las matemáticas", incluido el primero en la sección de vídeos de este mismo blog, en el cual se habla de la proporción áurea de una forma muy didáctica y simpática. A mí me lo pusieron uno de los primeros días de carrera. ¡Totalmente adorable!
  • Información de carácter general:
http://arteconaida.blogspot.com.es/2012/12/el-secreto-de-la-belleza_9601.html
  • El número phi en la naturaleza:
  • En dibujo y arquitectura:
  • En el arte: 
  • La proporción áurea. El lenguaje matemático de la belleza. Fernando Cerbalán. Colección: El mundo es matemático.

4 comentarios:

  1. Laura!! Una entrada preciosa y super interesante. Me ha encantado! Ya conocía la proporción áurea y hace tiempo leí algo sobre la naturaleza y como estaba presente en animales, plantas, etc. pero es que tu artículo me ha maravillado! Está incluso en las nubes, en las tormentas, incluso en el universo! Vamos que yo soy tu alumna y con la pasión que le pones, la manera tan divertida que tienes de explicar las cosas y esa facilidad para convertir las matemáticas (que normalmente a muchos de niños casi siempre nos ha resultado aburrido y una difícil) en algo divertido y apasionante, acabo estudiando matemáticas en la uni jejeje Eres una máquina Laura! Besitos!!

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    1. Hola Gema!! Me alegro muchísimo que te haya gustado!! A mi la proporción áurea también me encanta! Y muchísima gente ni ha oído jamás hablar de ella, y es tan chula...
      Y bueno a la niña la verdad es que le explico las cosas más o menos como aquí, dejándome un poco al lado las fórmulas y resaltando los aspectos más llamativos, por eso me pareció una buena idea explicarle de qué iba este asunto!
      Y nada Gema, no descartes como segunda carrera las matemáticas, eh??? jajajajaja La comunidad matemática siempre está falta de personal!!!
      Un beso enorme!!

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  2. Una entrada espectacular. Esta es la mejor manera de acercar las Matemáticas a todo el mundo: consiguiendo que aprecien su belleza y que sean conscientes de que están por todas partes.
    Cada día que pasa te superas, ¡sigue así!

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