domingo, 27 de septiembre de 2015

Pi, un número circular

Bueno, tengo que indicar que esta entrada participa en la Edición 6.6: números vampiro del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión este año es el blog Scire Science
Después de haber contemplado el poder del número Φ en todo su esplendor en La divina proporción: girasoles, ciclones y galaxias, esta vez le tocaba a otro número mágico también en matemáticas, y que todo el mundo está habituado a usar.

- ¿Conoces el número Pi? -le pregunté al entrar en clase aquel día. Mi pequeña alumna lo piensa un poco antes de responder.
- Sí, este sí que sé cuál es. ¿Tiene algo que ver con los círculos?

En efecto, los círculos nos dan la clave que nos acercó al número Pi. Sin embargo, antes de adentrarnos en cómo surge el número Pi y dar algunos trazos sobre su historia y su aproximación es conveniente indicar que tanto el número Φ, como el número π pertenecen a un conjunto de números muy especial. Para entenderlo, veremos rápidamente qué tipos de números existen. 

Los números irracionales
Para que se situase un poco mejor mi pupila, le dibujé en una hoja los siguientes conjuntos, usando distintos colores. Es importante saber que existen distintos tipos de números muy diferenciados. Dentro de cada conjunto he indicado algunos ejemplos de esos números.
Imagen 1: Tipos de conjuntos de números.
Como veis, existen dos grandes conjuntos de números: los números reales y los números complejos. A los números complejos esta vez los dejaremos en paz y nos centraremos en el conjunto de los números reales.
El conjunto de los números reales, a su vez, se compone de números racionales y de números irracionales. 
Los primeros son los que se pueden expresar como la fracción de un número entero (números sin decimales negativos o positivos) entre uno natural (números sin decimales positivos). Por ejemplo, 5/2 es un racional, pero también lo sería el -3, ya que se puede escribir como -3/1, o como -9/3;  o también el número 5, que se puede expresar como 5/1, o como 10/2, etcétera.
En particular el -3 sería entero, pero no natural, ya que este comprende únicamente los números mayores a cero, sin incluir a este; y el número 5 solamente sería natural. Bueno, dejo de enrollarme porque creo que queda bastante explicado en el diagrama. 

Pero no nos descentremos: el grupo de números que nos interesa esta vez es el de los irracionales. Estos son los números que no se pueden expresar en forma de fracción. Incluyen las raíces cuadradas de algunos números, y números como el número π y el número Φ. Un rasgo que los caracteriza es que además de tener infinitas cifras decimales, estas cifras no siguen ningún tipo de patrón; es decir, no podemos predecir fácilmente el decimal que ocupa el puesto 300, o 1000 (a no ser que usemos un ordenador), y no digamos los decimales que ocupan un puesto todavía mayor.

Ah, se me olvidaba; además el número de números que componen cada conjunto es infinito, por supuesto. Y para rizar el rizo, los infinitos de cada conjunto de números son de distinto tamaño. Pero eso ya es otro tema. Quizás os interese el tercer vídeo que hay en la sección de vídeos de este mismo blog, donde se explican aspectos interesantes del concepto de infinito.

El número π
-Es una de las constantes mágicas más importantes, y se emplea en matemáticas, física e ingeniería -leyó pausadamente mi alumna, de la hoja que había llevado escrita.

Su valor es:
π = 3.14159265358979323846...
Puesto que es irracional, como hemos dicho antes, tiene infinitas cifras decimales. Por definición, π es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. ¿Qué quiere decir esto?

Si se tiene un círculo de diámetro de 1 cm, entonces, la longitud de su perímetro es justo de 3.1415... cm. Si fuéramos capaces de cortar el círculo, y estirarlo hasta convertirlo en una línea recta, nos quedaría lo siguiente:
Imagen 2: Perímetro de un círculo.

Pero seguro que lo entendéis algo mejor con la siguiente animación:

Imagen 3: wikipedia.

Ante todo no hay que olvidar que el número Pi es la constante que surge al dividir el perímetro del círculo entre el diámetro de este. El número Pi también se considera una proporción, pues el perímetro de cualquier círculo es 3 veces su diámetro más un pedacito  que es equivalente al 0.14... del diámetro. Es decir, que si en lugar de un diámetro de 1 cm,  tenemos uno que mide 4 cm, el perímetro de este tendrá el valor 4 x π.

¿No os lo creéis? Os propongo que hagamos un experimento que leí por aquel entonces por los suburbios de internet y que me pareció del todo ilustrativo. Además, el experimento puede resultar muy útil para que los niños entiendan la importancia del número Pi en nuestra vida cotidiana.


Experimento
Yo se lo enseñé a la niña de esta forma y lo pasamos muy bien. Para llevarlo a cabo necesitamos una cuerda o cinta, una regla y un bote cilíndrico cualquiera que tengáis por casa. Qué ilusión, parece que vaya a hacer una de las manualidades imposibles de Art Atack... Pero nada más lejos de la verdad. No os ilusionéis. En mi caso el único bote que tenía a mano era uno de cola blanca, que no es completamente cilíndrico, pero da igual, porque solo voy a utilizar el círculo de la parte más ancha (de mayor radio).

Imagen 4: Herramientas del experimento.

Medimos con la regla el diámetro del bote:
Imagen 5: Medimos el diámetro.
En mi caso concreto el diámetro mide aproximadamente unos 4.2 cm. Es difícil ser riguroso, sí que es cierto, pero bueno.
Por otro lado medimos el perímetro de la circunferencia, rodeando con la cinta el bote, así:
Imagen 6: Medimos el perímetro con la cinta.

y haciendo una marquita. Luego colocamos la cinta  sobre la regla para poder medir el perímetro de la circunferencia:
Imagen 7: Ponemos la cinta sobre una regla.

Marca que el perímetro es de unos 13.2 cm.

Por lo que hemos visto antes, sabemos que el diámetro de un círculo por el número Pi, nos da el perímetro.
Por tanto debe ocurrir que 4.2 x π = 13.2, es decir, que 13.2/4.2 tiene que dar algo próximo a Pi (es muy difícil que dé exactamente el número Pi, pues nuestras mediciones no son extremadamente exactas, pero sí debe dar algo bastante aproximado, aviso).
Si hacéis la división, en efecto el resultado da 3.142857... Que solo coincide con pi en los dos primeras cifras decimales (pero este error se debe a lo que he mencionado antes, las mediciones no las hemos hecho con precisión milimétrica). Con una medición ajustada al 100%, obtendríamos el número Pi.

Probad a hacerlo vosotros en casa con cualquier otro bote, y al dividir su perímetro entre su diámetro, ¡debe dar siempre lo mismo!


Orígenes del número  π
Como supongo que ya intuís, esta constante se descubrió hace bastante tiempo. Ya en la antigüedad, se insinuó que todos los círculos conservaban una estrecha dependencia entre el contorno y su radio. Pero no fue hasta el siglo XVII que no se convirtió en un dígito, y se identificó con el nombre de "Pi", que viene de la palabra "periphereia", que es como denominaban los griegos al perímetro del círculo. 

Esta notación fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones y popularizada por el matemático Euler en su obra "Introducción al cálculo infinitesimal" de 1748. 
El valor  de esta constante mágica ha sido conocida con diferentes precisiones en el curso de la historia:
  • En una de las referencias documentadas más antiguas, como lo es la Biblia, aparece de forma indirecta asociada con el número 3.
  • En Mesopotamia, los matemáticos la empleaban como la aproximación de 3 más un octavo.

   \pi \approx
   3 + \frac{1}{8} =
   3,125
  • Un coetáneo de Sócrates, Antiphon, inscribió en el círculo un cuadrado, luego un octógono e ideó multiplicar la cantidad de lados hasta el momento en que el polígono obtenido ajustara casi con el anillo.
Imagen 8: web.calstatela 
  • Euclides precisa en sus Elementos los pasos al límite necesarios e investiga un sistema consistente en doblar, al igual que Antiphon, el número de lados de los polígonos regulares y en demostrar la convergencia del procedimiento. Un esquema de cómo funcionaría hoy el paso al límite puede ayudar a comprender, por ejemplo, por qué el área del círculo es  el producto de Pi por el radio al cuadrado.
Imagen 9: Libro "Los secretos del número Pi".
  • Arquímedes reúne y amplía estos resultados. Prueba que el área de un círculo es la mitad del producto de su radio por la circunferencia y que la relación del perímetro al diámetro está comprendida entre 3,14084 y 3,14285.
    Imagen 10: wikipedia.
  • En el siglo II d. de C., Ptolomeo utiliza polígonos de hasta 720 lados y una circunferencia de 60 unidades de radio para aproximarse un poco más, y da el valor 3 + 8/60 + 30/3600 = 377/120 =3.14166... ¡Parece que ya se parece más al número que conocemos hoy en día!

   \pi \simeq
   \frac{377}{120} =
   3{,}1416 \ldots
  • El cálculo de Pi atrajo la atención a matemáticos expertos de todas las culturas. Hacia el año 263, el matemático chino Liu Hui fue el primero en sugerir que 3,14 era una buena aproximación, usando un polígono de 96 o 192 lados. Sin embargo a él no le parecieron suficientes lados y decidió superar esa aproximación empleando un polígono de nada más y nada menos... ¡3072 lados!
Imagen 11: wikipedia.
  • A finales del siglo V  el matemático y astrónomo chino Zu Chongzhi calculó el valor de π en 3,1415926, al que llamó «valor por defecto», y 3,1415927, «valor por exceso», y dio dos aproximaciones racionales de π, 22/7 y 355/113, muy conocidas ambas, siendo la última aproximación tan buena y precisa que no fue igualada hasta más de nueve siglos después, en el siglo XV. ¡Qué máquina!
  • A partir del siglo XII, con el uso de las cifras arábigas en los cálculos, se facilitó mucho la posibilidad de obtener mejores cálculos para Pi. 
  • Uno de los casos más curiosos de la historia fue el del matemático inglés William Shanks, quien, después de un trabajo que le llevó casi veinte años, obtuvo 707 decimales en 1853. Desgraciadamente, Shanks incurrió en un error en el 528º decimal, y a partir de éste están todos mal. Pobrecillo.

El número  π en la era computacional
Desde el diseño del primer ordenador se empezaron a desarrollar programas para el cálculo del número π con la mayor cantidad de cifras posible. De esta forma, en 1949  se pudieron obtener  2037 cifras decimales en 70 horas. 

En la década de los 2000, los ordenadores ya son capaces de obtener números que poseen una inmensa cantidad de decimales. En concreto en 2009  se hallaron más de dos billones y medio de decimales de pi mediante el uso de una supercomputadora, compuesta por 640 computadoras de alto rendimiento, que juntas consiguen velocidades de procesamiento de 95 teraflops. Lo obtuvieron en 73 horas y 36 minutos.
Los últimos datos que se tienen indican que en 2011 se batió el último récord, de mano de Shigeru Kondo, que ya ha descubierto las 10 000 000 000 000 primeras cifras del número Pi.

Imagen 13: Aula Geek.

Locas y absurdas curiosidades
Como sé que os gusta saber estas cosas también os contaré algunas curiosidades de este mágico número. Sabías que...

1) ¿El día de este número es el 14 de Marzo? El día 14 del mes 3: 3,14...No es demasiado conocido, pero cuentan que... Ese día suelen ocurrir cosas buenas. No, ahora en serio. Solo los verdaderos amantes de este número llaman a sus amigos para felicitar este día. Se puede entender como un pequeño tributo para este número tan maravilloso.




2) ¿Se hacen, hoy en día, concursos de microrrelatos con el número Pi?

Sí, sí; lo estas escuchando bien. Tomando las primeras cifras del número Pi (por ejemplo las 20 primeras), se compone el microrelato, de modo que, si recordamos:
π=3.1415926535897932384...
la primera palabra tendrá 3 letras, la segunda, 1, la tercera 4, etcétera...
Esta clase de concursos fue pionero en la universidad de Alicante (universidad en que servidora estudió), en la Facultad de Ciencias, y en el siguiente enlace podéis ver con vuestros propios ojos en qué consiste:

En particular, la ganadora de la edición de 2013 fue la siguiente:
“Voy a casa y busco recuerdos. La mañana llega sin tener consuelo. Solamente intento continuar sin tu luz, anhelado amor”.
3) ¿Hay gente por el mundo que le ha puesto música al número Pi, asignando a cada cifra decimal una nota musical? ¡Todos locos!

4) ¿Hay chistes muy malos en los que se ve implicado?
Imagen 12: Chiste Pi - ojo

Imagen 13: Pájaro Pi.

Bibliografía
Hay multitud de sitios webs y libros que tratan sobre el número Pi. 
Algunos sitios que he consultado son los siguientes:

También he consultado este libro:
"Los secretos del número π, ¿Por qué es imposible la cuadratura del círculo?", Juaquín Navarro.

miércoles, 23 de septiembre de 2015

Los cuadrados mágicos

Noté como la palabra "mágicos" la dejaba instantáneamente obnubilada. En esta clase íbamos a jugar con números. 

Pues bien, los cuadrados mágicos son distribuciones de números en celdas que se disponen formando un cuadrado, de forma que, la suma de cualquiera de sus filas, de cualquiera de sus columnas y de las dos diagonales principales da siempre el mismo resultado. Al número resultante se le conoce también como "constante mágica".

- Me recuerdan a los Sudokus - comentó ella, con un brillo de emoción.

No son exactamente Sudokus, pero sí se le parecen. Veamos a continuación un pequeño ejemplo de un cuadrado mágico de 3x3:
En este caso la constante mágica es 15, ya que esa es la suma que se produce en cualquiera de sus filas, de sus columnas y de sus diagonales (como hemos dicho más arriba). Fácil, ¿no?

Pues bien, os propongo los siguientes sencillos ejercicios:

1) En un cuadrado mágico de orden 3 (es decir, un cuadrado con tres filas y tres columnas, como el del ejemplo), coloca los números del 4 al 12 de forma que la constante mágica sea 24.

2) En un cuadrado mágico de orden 4 (esta vez tendremos cuatro filas y cuatro columnas) coloca los números del 1 al 16 de forma que la constante mágica sea 34.

3) En un cuadrado de orden 5, coloca los números del 1 al 25 de forma que la constante mágica sea 65.

Al final de la entrada os propongo un par de ejercicios más con cuadrados mágicos, pero un poco más difíciles. Por si tenéis sed de más.

Ahora vamos a pegarle un repaso a la trayectoria del cuadrado mágico. Porque lo mejor de este es que ha estado presente en nuestra historia, ¡sí, no somos los únicos locos que se entretienen con estas cosas!

Curiosidades e historia del cuadrado mágico
Estos cuadrados mágicos actualmente no tienen ninguna aplicación práctica a parte de la diversión de nuestra mente matemática. Sí que es verdad que a lo largo de la historia han estado presentes, sobretodo en aspectos relacionados a las supersticiones o la magia... 

En  China se conocían los cuadrados mágicos desde el III milenio a.C, y tienen una leyenda propia, atentos.
Según esta, cierto día se produjo el desbordamiento del río Lo; la gente, temerosa, intentó hacer una ofrenda al Dios del río para calmar su ira. Sin embargo, cada vez que lo hacían, aparecía una tortuga que rondaba la ofrenda sin aceptarla, hasta que un chico se dio cuenta de las peculiares marcas del caparazón de la tortuga, en el que había inscrito uno de los cuadrados mágicos. De este modo pudieron hacer la ofrenda con la cantidad que proporcionaba la constante mágica del cuadrado. Y así, se quedó el Dios satisfecho y volvieron las aguas a su cauce.



No obstante, el cuadrado mágico también se ha hallado en otras culturas, como la india, la egipcia o la griega, que le atribuían propiedades astrológicas y adivinatorias. Era frecuente grabarlo en talismanes. 
La introducción de estos misteriosos cuadrados se le atribuye a Emanuel Moschopoulos (menudo nombre...)  en torno al siglo XIV, que explica métodos para construirlos. 


Sin embargo, estos cuadrados atrajeron la atención de grandes celebridades matemáticas (como Euler, Fermat, Pascal o Leibnitz), que estudiaron sus propiedades matemáticas (con un enfoque más científico) , a pesar de que son inútiles en la práctica.
Lo que demuestra, una vez más, que todo lo que suponga un reto para la mente, una manera de divertirnos, merece un poco de nuestro tiempo.

 Aunque luego sea completamente inútil.

En particular, el cuadrado mágico que aparece en la imagen de arriba pertenece a Melancolía I, una obra de Alberto Durero (un señor considerado el primero de las artes europeas). Las dos cifras centrales de la última fila muestran el año de la ejecución de la obra. En la siguiente imagen podemos ver la totalidad de la obra. El cuadrado mágico está arriba, a la derecha. 

Y el ejemplo más reciente se encuentra en la Catedral de la Sagrada Familia de Gaudí, ubicada en Barcelona. El cuadrado que hay en él tallado tiene como constante mágica el número 33 (la edad de Jesucristo en la Pasión), aunque también existe la teoría de que el número 33 se relaciona a una adscripción masónica.




 

Juegos con cuadrados mágicos
¿Y si todavía lo complicamos todo un poco más? Probad con los últimos cuadrados mágicos que os propongo, y ya me contáis que tal os ha ido. Estos no se los puse a mi pupila, claro. Estos van para vosotros. Ánimo y pensad, pequeños, pensad...

4) Y por último, hay que hallar el número K, sabiendo que el cuadrado mágico se compone por números del 10 al 18.

5)  En este ejercicio solamente tenéis que completar el cuadrado mágico (recordad qué es lo que significaba que un cuadrado fuera mágico):





Soluciones
Espero que lo hayáis intentado antes... Antes de nada, no me matéis; pero estos dos últimos problemas no son demasiado triviales. Hay que coger boli y papel e intentarlo un poco más en serio. Evidentemente estos problemas no se los propuse a la niña; a ella se le puse todo un poco más fácil. La cuestión era que no me odiase, recordad... 

4) Nos tenemos que ayudar con algunas letras para poder deducirlo:
Bastará con que sean las de las filas de arriba y abajo, pues nos darán suficientes datos para poder resolver el cuadrado.
Por las propiedades características del cuadrado mágico, sabemos que, si denotamos por N la constante mágica del cuadrado se cumple lo siguiente:
a+b+c=N
a+K+f=N
b+K+e=N
d+K+c=N
d+e+f=N
Sumando las tres igualdades centrales se tiene que:

(a+K+f)+(b+K+e)+(d+K+c)=3N

Y si reordenamos los sumandos:

(a+b+c)+3K+(d+e+f)=3N
Usando las igualdades de arriba que no hemos usado todavía, es decir, las sumas:
a+b+c=N
d+e+f=N
Se tiene que:
N+3K+N=3N
Y despejando la ecuación:
3K=N
Es decir:
K=N/3
Por tanto en número central K es un tercio de la constante mágica del cuadrado.

Por otra parte se sabe que los números que conforman el cuadrado mágico son los números del 10 al 18, es decir: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 y 18.
La constante mágica es la suma de todos los elementos del cuadrado mágico entre 3. Esto es fácil de comprobar, puesto que la constante mágica es el resultado de sumar los elementos de cada fila, de cada columna y de sus diagonales.
Por tanto:
10+11+12+13+14+15+16+17+18=126
Y por lo que hemos dicho antes, la constante mágica que hemos denotado con la letra N será la tercera parte de esta suma, es decir, N=126/3=42.

Y como K=N/3, se tiene que:
 K=42/3=14.
¡Tachaaaaaaaan!


5) Ayudándonos del ejercicio 4 resulta ser bastante sencillo.
Antes de nada volvemos a rellenar los huecos convenientes con letras, de forma que:

Ahora ya podemos hacer operaciones parecidas a las que hacíamos. Por los visto en el ejercicio 4, la suma de cada fila y de cada columna es igual a 3K. Luego:
67+b+43=3K
b+K+73=3K

Que es un sistema sencillo de dos ecuaciones con dos incógnitas. Resolverlo es fácil, pero detallaré aquí los pasos para los que andeis perdidos todavía.
Despejando la primera ecuación en función de b se tiene que:
b=3K-110

Sustituyéndo esto en la segunda ecuación:
3K-110 +K +73 = 3K
K=37
Y como b=3K-110=3*37-110=111-110=1

Ya sabemos que la constante mágica es 3*K=3*37=111 (o bien al hacer la suma de los números que conforman la columna central, 1+37+73=111).

Rellenar los huecos ya es algo trivial, ¿no? Aquí os doy la solución:
¡Y además en este cuadrado mágico se tiene que todos sus números son números primos!  ¿No es completamente genial?

Para saber más...
En los siguientes enlaces tenéis más sobre la historia y la construcción de los cuadrados mágicos, por si os habéis quedado con ganas de conocer más cosas acerca de ellos:

sábado, 19 de septiembre de 2015

La rejilla del espía

Con el uso de rejillas, mi pupila y yo volvimos a sumergirnos en las inquietantes aguas del espionaje, como ya hicimos en la entrada ¿Jugamos a los espías?
En esta ocasión íbamos a aprender a cifrar y descifrar mensajes con ayuda de una rejilla. Este método la verdad es que no tiene demasiada complicación. La rejilla fue ideada por Girolano Cardano, entorno al 1550.
Recuerdo que antes de adentrarnos en qué consistía esto de la rejilla, le expliqué a la niña un poco por encima quién fue ese tal Girolano Cardano. Fue algo muy breve, porque sabía que estaba deseando ponerse a jugar con la rejilla y le importaba bien poco quién había sido ese tío. Aún así, creo que es importante detenerse un instante a recrearnos en su existencia.

Cardano fue un médico notable,  un célebre matemático italiano del Renacimiento,   astrólogo, y a ello se le suma su profundo estudio sobre el azar.

En Bolonia, fue acusado de herejía debido al tono polémico y agudo de sus escritos y a haber escrito el horóscopo  de Jesús. Fue procesado, pasó varios meses en prisión, abjuró y logró la libertad pero con la prohibición de publicar. Se mudó entonces a Roma, donde siguió con sus trabajos de medicina. Fue allí donde murió y una leyenda cuenta que fue justamente el día que él había predicho (supongo que no se suicidaría, porque si no, menudo mérito).


La famosa rejilla  consiste en un trozo de cartulina perforada en ciertos lugares, parecida a la que se puede ver en la imagen siguiente. 
Sin embargo, la rejilla que propone Cardano es algo más complicada (el caso que se muestra arriba no sería una rejilla de Cardano completamente): las perforaciones no deben solaparse cuando la cartulina gire 90 grados sobre su eje hacia la derecha o hacia la izquierda, de tal modo que tras cuatro de estos giros vuelva a su posición original.

Para codificar el mensaje se hace de la siguiente manera: Se va escribiendo en las casillas huecas hasta que se llenan, y tras esto se gira la rejilla 90 grados y se siguen rellenando dichos huecos. Y así hasta completar el giro completo de la misma. Cuando se quita la rejilla los espacios sobrantes se rellenan con letras que se toman al azar, de modo que el mensaje es ininteligible.


El procedimiento de descifrado es similar pero se necesita una copia de la rejilla empleada, pues de lo contrario es difícil reconstruir el mensaje original. Al final tendremos una copia exacta del mensaje emitido, pero transformado en lenguaje llano inteligible.
La rejilla que le hice a mi pupila no es 100% la de Cardano, pues la hice más sencilla: sin tener en cuenta los giros. ¡Menuda gracia entonces! pensaréis. Pues sí, pero quería que la introducción al mundo de las rejillas fuera atractivo. Ya habría tiempo para complicarse.
Una vez usada una rejilla que ni necesita de giro ni nada de nada, fuimos al tema de los giros. De esta forma le propuse (y os propongo también a vosotros) el siguiente acertijo criptográfico:

Un agente secreto ha entrado en la habitación de un hotel de un conocido espía y después de buscar por todas partes tan solo ha encontrado dos objetos sospechosos. El primero de ellos es un papel con cuatro palabras:

E E N L
L Ñ T S
A E A M
R N A A

y el otro objeto sospechoso es un cuadrado de papel con algunos agujeros, como si fuera una rejilla (guiño guiño guiño).
El agente ha copiado las cuatro palabras, la forma de la rejilla y los lugares de los agujeros.
¿Podrías ayudar al agente secreto a descubrir el mensaje secreto?

Qué me decís, ¿Echáis una mano al agente secreto?

Solución (editado)

Si lo habéis intentado y no os sale... intentadlo un poco más. Como pista tenéis que la solución da como mensaje:
ELTR ENSA LEMA ÑANA

Y separando por palabras:
EL TREN SALE MAÑANA

Fuente

miércoles, 16 de septiembre de 2015

Las cajas con naranjas y manzanas


Después de bastante tiempo sin publicar nada en el blog, os traigo otro de los acertijos que un día le  planteé a mi alumna. Es bastante sencillo, pero requiere que os paréis a pensarlo un instante para resolverlo. Aquí pongo el enunciado:

Se tienen tres cajas cerradas. En la primera de ellas hay una etiqueta que dice "Manzanas", en la segunda una que dice "Naranjas", y en la tercera aparece el letrero que dicta "Naranjas y manzanas".
Tú sabes que las tres cajas tienen la etiqueta cambiada. Puedes pedirme que saque una fruta de la caja que tú elijas.
¿Cómo puedes etiquetar las cajas correctamente?

Como mi pequeña alumna necesitaba un poco de ayuda para poder resolverlo, le puse las cosas un poco más fáciles. Quizás vosotros también queráis hacerlo así porque os resulta más sencillo de deducir.

Lo que yo hice fue coger tres sobres, y ponerles a cada uno de ellos un post-it, como se ve en la siguiente imagen:
Por otro lado, en cada una de ellas puse dos papelitos doblados, de modo que en uno hubiera dos manzanas, en otro dos naranjas y en el otro hubiera una naranja y una manzana. 
Guardé los papelitos siguiendo la regla indicada por el acertijo de "sabes que las tres cajas tienen la etiqueta cambiada". De esta forma, como dictaba el enunciado, ella debía de pedirme que sacara una única fruta de una de las tres cajas, y con ese único dato, arreglárselas para reetiquetar bien los sobres (o las cajas). El problema es más sencillo así, ¿verdad? Le permitía hacer hipótesis y cambiar los post-it de un lugar a otro con total libertad. Así, cuando recolocó las etiquetas, le dije que abriera los sobres para comprobar si lo había hecho bien.

¿Qué estrategia seguiríais para poder etiquetar debidamente las tres cajas vosotros? Pensad, pequeños, pensad...

Solución
Como veo que no os animáis a dejar vuestras teorías acerca de cómo resolver el acertijo, aquí os cuento la deducción que lleva al reetiquetado correcto.

La clave está en pedir que saquen una fruta de la caja donde está la etiqueta de “Naranjas y manzanas”. 

Para la deducción muchas veces es útil realizar alguna hipótesis que nos ayude a ver un caso concreto.

Imaginemos que sacamos una naranja. 

Eso significa que en esa caja todos son naranjas puesto que “ninguna etiqueta enuncia lo que realmente contiene la caja”. De modo que en la caja cuya etiqueta pone “Manzanas” solo hay dos opciones:

- Que haya manzanas, en cuyo caso no se cumpliría eso de que las etiquetas están todas cambiadas (como dice el enunciado)

- Que haya naranjas y manzanas.

Por tanto se tiene que la caja cuya etiqueta dicta “Manzanas” debe tener a la fuerza, Naranjas y manzanas.
Por último, la caja restante (cuya etiqueta es “Naranjas” debe ser la que tiene las manzanas).

Por eso la clave es conocer una fruta de la caja etiquetada como “Naranjas y manzanas”. Esto nos dará la pista que nos ayudará a resolver el acertijo.