lunes, 9 de junio de 2014

La sucesión de Fibonacci

Está muy bien eso de resolver acertijos y jugar al Tangram, pero contarle a mi pequeña pupila cosas algo más elevadas matemáticamente... me produce cosquilleo interno, de emoción.  La sensación de perpetrar algo grande. De acercarla un poco más a mi mundo. 
Sólo le cuento la idea (que es lo que básicamente voy a contar aquí, y en la siguiente entrada). Luego hay mucha literatura al respecto que ciertamente merece la pena ser leída: tanto como si tienes conocimientos previos como si no.
La sucesión de Fibonacci la introduje al final de mi entrada anterior, pero recordaré en qué consiste:
Se trata de una sucesión numérica, en que el siguiente número es la suma de los dos términos anteriores.
De esa forma se escriben arbitrariamente 0 , 1
y a partir de ahí: 0+1=1 , 1 +1=2,  1+2=3, etcétera, quedando los primeros términos como:


0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...

El problema de los conejos
La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos.
El problema para Fibonacci, que también era un gran contable, era la siguiente:

"Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes, los nacidos parir también".

Por tanto, Fibonacci se pregunta...
¿Cuántas parejas de conejos habrá en una granja después de 12 meses, si se coloca inicialmente una sola pareja?
Como veis, no es más que otro acertijo. Y creo que esta claro el nexo entre el problema de los conejos y de la sucesión de Fibonacci, ¿no? (En efecto no me he vuelto loca y no me ha dado por hablar de un acertijo de conejos sin venir a cuento) Y si no lo veis todavía, sed pacientes.

Bueno, ¿Cómo hacer divertido el problema? Pues yo cogí el conejico este tan mono:
Y con ayuda de paint le hice una pareja, y creé imágenes con dos conejos cada una, y luego guardé esa imagen y creáis copias de ella en Word (creando un mini-ejército de parejas de conejos).
Y así hacemos unos cuantas parejas (en concreto yo hice una cuadrícula de 6x4 parejas de conejos), se imprime esta hoja y se recortan.
Así es como aparecí ese día en la clase, con un sobrecito lleno de parejas de conejos, que esparcí en la mesa. ¡Ya podía llevar al plano empírico el problema!

Fue necesario leer varias veces más el problema, porque cabe tener en cuenta que:
- Los conejos necesitan dos meses de vida al menos para alcanzar la edad adulta y tener crías, a partir del cuál cada mes criará una nueva pareja.
- La nueva pareja al tener dos meses de vida, parirá a su vez otro par de conejos.

Con todo esto, parece claro que en el primer mes, tendremos solo 1 pareja, que al constituirse por conejos demasiado pequeños no pueden tener crías. Al siguiente mes también tendremos solamente 1 pareja, pues los conejos estan creciendo y no pueden todavía procrear. Sin embargo al tercer mes, la pareja tendrá una pareja de crías.... Por lo que tendremos 2 parejas.
 Al 4º mes, la pareja inicial vuelve a criar, mientras que las crías del mes anterior siguen creciendo. Por tanto tendremos: La pareja inicial + las nuevas crías + las crías que tuvieron en el mes 3º = en total 3 parejas.
Al 5º mes, como las crías del 3er mes ya se encuentran con fuerzas de criar, y la pareja inicial seguirá criando... Tendremos unas cuantas parejas más, que en total sumarán 5 (siguiendo un razonamiento lógico análogo al anterior).
¿Véis el nexo con la sucesión de Fibonacci?


Por tanto parece que la pregunta que se hacía Fibonacci tiene una fácil respuesta... ¿Cuántos conejos tendremos al transcurrir exactamente 1 año (12 meses)?

[Ayuda: pinchar aquí]


Fibonacci y las abejas
También existe un problema análogo que  resulta muy divertido de resolver. En este caso abandonamos a los conejos para adentrarnos en un caso bastante práctico: Las abejas. Además, he estado indagando y parece ser que esto se presenta así en la naturaleza. 
Resulta que las abejas macho nacen de un huevo no fecundado y las abejas hembra nacen de uno que sí esta fecundado. Es decir:

- Las abejas macho tienen únicamente una madre.

- Las abejas hembra tienen un padre y una madre.

El problema consiste en averiguar cuántos antecesores tiene un individuo cualquiera al nivel que queramos.
Si cogemos una abeja macho... ¿Cuántos padres/madres  tendrá?

Es obvio, por lo descrito anteriormente que solamente contará con 1 madre. (Pues se trata de un huevo no fecundado).
 ¿Y abuelos? Como la madre desciende de un huevo fecundado, en este caso tendrá un padre y una madre, así que la abeja macho del principio tiene 2 abuelos (macho y hembra)
¿Y bisabuelos?  ¿Y cuántos tatarabuelos tendrá (machos y hembras),...etc?

Si realizamos bien el problema (podemos proceder de muchas maneras, una de ellas es haciéndonos un esquema sobre una hoja), el resultado que se obtiene es muy bonito.

Para los dos problemas elaboré además una tabla en una hoja, para que mi pupila fuera colocando los conejitos o las abejas y fuera apuntando los resultados, tras razonar lógicamente qué número de parejas (para conejos) o individuos (para abejas)  ponía en el siguiente nivel (meses en los conejos, y progenitores en el caso de las abejas).

Espero que razonéis cómo funciona todo esto, ¡es sumamente interesante!
La próxima semana veremos una "consecuencia" preciosa de la sucesión de Fibonacci... La proporción áurea, o el número de oro.

Algunas fuentes:
  • El problemas de las abejas:
http://www.johndcook.com/blog/2008/02/15/honeybee-geneology/
  • Todo esto en términos  matemáticos:

2 comentarios:

  1. Me apasionan estos temas. Muchas gracias por compartirlos.

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    1. Gracias a tí por entrar y leer. :)
      Un saludo!

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