La caza fotográfica del águila y la Criba de Eratóstenes

Fuente: www.fondoswiki.com

Abro la carpeta y le pido que lea en voz alta el siguiente problema matemático de lógica:

Una revista de naturaleza contrata a un fotógrafo para cazar con su cámara un águila que anida cerca del río. La revista necesita las fotografías el día 25 del mes para poder publicarlas ese mismo mes. Si las entrega en esta fecha le pagarán su trabajo.

El fotógrafo acepta pero con las siguientes condiciones:

1. Durante los fines de semana no trabaja, son días de descanso.

2. Si el águila ve que voy todos los días, abandonará el nido, por tanto, empezando desde el primer día del mes, pasaré dos días sin ir al río y al tercero saldré; después pasaré otros dos días sin ir al río y al tercero saldré, y así durante todo el mes.

3. Todos los lunes, miércoles y viernes no saldré a fotografiar el águila porque tengo otros trabajos que realizar.

4. Cada nueve días, empezando a contar desde el día 1, debo quedarme en el laboratorio revelando las fotografías que tengo.

¿Conseguirá cobrar el fotógrafo por las fotos del águila?

- ¿Qué crees que te hará falta para poder resolver este problema?
La niña me mira, sin comprender. 
- Ya sabes, se trata de ir observando qué días irá o no irá el fotógrafo a fotografiar el águila.

- ¿Un calendario? - me pregunta.

- ¡Correcto! - Entonces saco de mi carpeta una nueva hoja con una hoja de un calendario.

Rauda y veloz, abre el estuche contenta de entender en qué consiste… Lee cada una de las condiciones del caprichoso fotógrafo y, utilizando rotuladores de colores, va resolviendo el problema.

[Nota: Os recomiendo que utilicéis un mes cualquiera que el día 1 caiga lunes... Porque dependiendo de de como caigan los días el resultado variará.]

Es un problema muy interesante, y lo utilicé como preámbulo a cuestiones más matemáticas, porque, las condiciones 2 y 4 lo que en realidad te piden es la identificación de múltiplos.

Con la 2 lo que hacemos es tachar todo aquel número que no sea múltiplo de 3. Y con la condición 4 del fotógrafo, lo que hacemos es tachar aquellos días múltiplos de 9.

Una vez resuelto este sencillo problema, y aprovechando que recientemente ha hecho ejercicios para el cole sobre múltiplos y divisores, y sobre el significado de los números primos (ya sabéis, aquellos que únicamente se dividen entre sí mismos y entre uno), de mi carpeta extraigo una hoja más.

La criba de Eratóstenes

- Antes de nada… Has de saber que los números primos son de vital relevancia para los matemáticos. Esconden todavía secretos que no se han podido desvelar… Y la humanidad siente cierta atracción curiosa por ellos. ¿Has escuchado alguna vez hablar de Eratóstenes? – Mi pupila niega con la cabeza, aunque con una gran sonrisa. Yo creo que está contenta porque le ha salido el problema de la caza fotográfica del águila. Pobre… No sabe lo que le he reservado.

                                     

Fuente: www.wikipedia.com

- Eratóstenes fue matemático, astrónomo, geógrafo, poeta y filósofo (ya ves que era un buen partido, sabía hacer de todo), y vivió entre 276 a.C. y 194 a.C. Saltó a la fama por ser el primero (al menos que quede constancia) que fue capaz de determinar el tamaño de la Tierra… Con ayuda de las matemáticas. – La niña me mira, ojiplática. Y me sigue escuchando. – Además era un gran amigo de Arquímedes. Este sí te sonará, ¿no? - Asiente con la cabeza. Es una niña de pocas palabras.

- Pues bien, La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número (natural) dado. – Ajá, su cara es un poema. – Quiere decir que, haciendo algo muy parecido a lo que acabamos de hacer con el problema anterior, podemos encontrar todos los número primos que hay hasta llegar a cierto número. Coge otra vez los colores, que ahora vamos a calcular los números primos que hay del 1 al 100.

Creo que la parte de los colores es la que más le ha motivado. A continuación vamos tachando con colores los múltiplos del 2 (excepto el 2), los múltiplos del 3, los del 5, del 7… y vamos comprobando que, tras hacer esa criba, efectivamente, los números que nos quedan son números que únicamente tienen como divisores el 1 y sí mismos... y ninguno más.

Aquí os dejo la solución:

Para saber más...

• Talleres y juegos matemáticos
•  Sobre Erastóstenes
•  Sobre La Criba de Eratóstenes (Wikipedia se lo ha currado con animaciones y cosas).

¿Jugamos a los espías?

- Hoy vamos a cifrar y descifrar códigos, mensajes secretos.
- ¿Pero... de letras? - me pregunta ella, dubitativa.
- Sí. Pero usando las matemáticas.
Usaremos uno de los cifrados más básicos que existen, claro está, pero lo importante es que entienda lo que significa cifrar y descifrar un mensaje.
- Utilizaremos el cifrado César… ¿Has oído hablar de él? – niega con la cabeza.

Le cuento que el cifrado César se llama así porque se le atribuye a Julio César, el famoso emperador romano. Que cuando intentaba comunicarse con aliados y quería proteger el contenido de esos mensajes por si caía en manos enemigas, lo que hacía era usar el siguiente sistema:

Sustituía las letras del abecedario por otras correspondientes a un número determinado de posiciones.

Es decir, si usara un desplazamiento sencillo, el desplazamiento 1, las letras que tendría que sustituir el abedecedarío serían estas:

Así, si yo dijera

¡Gcmja bop ñvwp, qfrvfopt ftqjbt!

o cosas como:

Ftqfsp rvf pt hvtuf ftup ef kvhbs z mpt ftqjbt.

Todo el mundo entendería lo que digo, ¿no? Ajá, esto es muy fácil.

A ella le pedí que creara otro cifrado de sustitución (utilizando otro desplazamiento, el que quisiera, del 1 al 27, hay 27 letras en el abecedario y por tanto hay 27 maneras de cifrar por sustitución), y que me escribiera un mensaje.

Esto del cifrado César es una excusa perfecta para trazar algunos esbozos en su mente de aritmética modular... Y ella a penas se da cuenta.

A lo que iba, se escribió el abecedario, y bajo escribió las letras codificadas utilizando el cifrado césar.

Con que me diga el número del cifrado que ha utilizado es suficiente, ¡Sabré como descodificar el mensaje pues tengo la clave para descifrarlo, que es el número de cifrado utilizado!

Pero, ¿y si utilizo un desplazamiento que el receptor desconoce (es decir, no tenéis la “clave” para obtener el resultado)?

Bueno quizás este cifrado ya no esté muy en uso precisamente porque es fácil deducir la clave, aun así os pondré a prueba,

Cbonf obfnf tnl ynf ñqxxnf dhq xn fbzeufn pq qfgn zuan vhsnzpb oaz xnf yngqynguonf.

¡Biquiños!

El Cero Rey

Estaba mi pupila haciendo esos deberes de fracciones (¿Tres semanas con las fracciones no es demasiado tiempo?) y mientras hacía y deshacía, le pregunté si podía coger un cuaderno que usan ocasionalmente en clase, uno lleno de fotocopias que les reparte la profesora.

Vi varias cosas que me gustaron bastante (Sopas de letras con nombres de matemáticos famosos, etc), y entre las cosas que encontré se halla el relato que os dejo a continuación, que no solamente habla de los números... 

Aquí os lo dejo:

El Cero Rey

El cero, harto de no ser nada, decidió buscarse la vida fuera del Sistema Métrico Decimal.
- Al otro lado del Sistema Métrico Decimal no hay nada - le dijeron los números pares y los impares y también los idiotas, pues sabían que sin el cero todo el sistema se vendría abajo.
- Pues ése es mi sitio –respondió él -, ya que yo no soy nada.
- Sí eres, sí eres - le dijeron.
- No soy, no soy – respondió él -. Dos días son dos días, y siete semanas son siete semanas, pero cero meses no es ningún mes.
- Ponte a mi lado y seremos un 40 – dijo el 4.
- Quiero ser algo por mí mismo, sin ayuda de nadie – respondió.

Atravesó, pues, el Sistema Métrico Decimal y llegó a un lugar raro, donde las cosas no eran nada. Ni las calles eran calles, ni los semáforos, ni los árboles. “Éste es mi sitio, puesto que soy un número que no es un número.”
Entró sigilosamente en una casa y vió un padre que no era un padre, una madre que no era una madre, unos hijos que no eran unos hijos, y un canario que no era un canario.
Estuvo todo el día observando, escondido tras un sofá que no era un sofá, a aquella familia que no era una familia. Al atardecer salió a la calle que no era una calle, feliz de haber encontrado para vivir, un lugar que no era un lugar.
Pero apenas había recorrido dos manzanas, cuando fue detenido por dos policías que no eran policías.

- Usted no puede permanecer aquí – le dijeron-, Para estar aquí es preciso no ser nada.
- Es que yo soy un cero – dijo el cero.
- Un cero es un cero – le contestaron.
- Un cero – dijo él - es un número que no es un número. ¿Cuántos días son cero días? ¿Cuántas semanas son cero semanas? ¿Cuántos meses son cero meses?

Los policías que no eran policías se miraron sin saber qué contestar.

- ¿Qué diferencia hay entre un cero y nada? – insistió el cero.

El asunto fue llevado ante unos licenciados en nada, que era la profesión más extendida en aquel sitio. Tras darle muchas vueltas al asunto, estos expertos decidieron que no era lo mismo nada que cero.
El cero fue devuelto violentamente al Sistema Métrico Decimal, donde fue recibido con todos los honores por el resto de los números, que no podían vivir sin él.
Y para que no volviera a irse, lo nombraron el Rey del Sistema Métrico Decimal, y él aceptó, y desde entonces reina sin comprender por qué es preciso ser nada para serlo todo.

Relato extraído del libro
Números pares, impares e idiotas

Autores : Juan José Millás y Antonio Fraguas "Forges"